Lieber Muhammad,
willkommen bei Wefugees und danke für deine Frage!
Eine Sozialbauwohnung bekommst du nur mit einem Wohnberechtigungsschein (WBS). Den beantragst du bei den Behörden (Wohnungsamt, Bezirksamt - je nachdem wer in deinem Wohnort dafür zuständig ist). Dort wird geprüft, ob du berechtigt bist. Berechtigt sind Antragsteller, deren (bzw. das der Haushaltsgemeinschaft) Einkommen eine definierte Grenze (je nach Bundesland unterschiedlich; muss individuell berechnet werden) nicht übersteigt und du so quasi nachweist, dass die Zahlung von hohen Mieten (von "normalen"/privaten Wohnungen) sehr schwierig wäre. Bekommst du einen solchen WBS, ist dieser in der Regel für ein Jahr gültig.
Wie schnell du mit dem WBS eine Wohnung bekommst, kann ich so pauschal nicht beantworten. Du müsstest dich genau wie hinsichtlich der "normalen" Wohnungen um die Sozialbauwohnungen bewerben. Meist ist in den Wohnungsanzeigen "nur mit WBS" oder ähnliches vermerkt.
In Berlin beispielsweise sind auch jene Wohnungen sehr umkämpft und es kann sehr lange dauern, bis man eine passende Wohnung gefunden hat. Aber das wird anderenorts vielleicht auch einfacher sein.
Ich hoffe ich konnte dir weiterhelfen und komme doch gerne bei Rückfragen auf uns zurück!
Viele Grüße,
Meike