Hallo,
Ich würde erst das eine, dann das andere regeln. Bis zur Unterzeichnung des Arbeitsvertrags wird es ja ohnehin noch dauern, denke ich. Darum würde ich eine eventuelle Arbeitsaufnahme gar nicht erwähnen beim nächsten Gang zum Amt.
Uns ist es kürzlich passiert, dass jemand seine Umzugsbeihilfe zurück bezahlen musste. Hier war der Arbeitsvertrag aber schon einige Tage vor Erhalt des Geldes unterschrieben.